TI Politala Matdis 1B

TI Politala Matdis 1B

Nama : Illa Yasyera

NIM   : 1801301022

1.      PROPOSISI

a.      Pengertian Proposisi

Menurut kbbi.web.id, proposisi merupakan sebuah ungkapan atau pernyataan yang dapat disangsikan, disangkal, atau diyakini, serta dapat dibuktikan benar atau tidaknya. Proporsi sendiri terbentuk atas tiga unsur, yaitu subjek oredikat dan kopula.

b.      Jenis-Jenis Proposisi

Secara sederhana dapat dibedakan atas empat macam yaitu sebagai berikut:

a.  Proposisi Universal Afirmatif

Proposisi universal afirmatif ialah pernyataan bersifat umum yang membenarkan adanya hubungan subjek dengan perdikat, dirumuskan “semua S ialah P”.

b. Proposisi Universal Negatif

Proposisi universal negatif ialah pernyataan yang bersifat umum yang mengingkari adanya hubungan subjek dengan perdikat, dirumuskan “semua S bukan P”.

c.    Proposisi Partikular Afirmatif

Proposisi partikular afirmatif ialah pernyataan bersifat khsusu yang membenarkan adanya hubungan subjek dengan perdikat, dirumuskan “sebagian S adalah P”.

d.   Proposisi Partikular Negatif

Proposisi partikular negatif adalah pernyataan bersifat khsusu yang mengingkari adanya hubungan subjek dengan predikat, dirumuskan “sebagian S bukan P”.

c.       Bentuk-Bentuk Proposisi

Berdasarkan dua jenis proposisi yaitu berdasarkan kualitas (positif dan negatif ) dan berdasarkan kuantitas (umum dan khusus) ditemukan empat macam proposisi yaitu:

1. Proposisi umum -positif disebut proposisi A.
2. Proposisi umum-negatif disebut proposisi E.
3. Proposisi khusus-positif disebut proposisi I.
4. Proposisi umum-negatif disebut proposisi O proposisi umum-positif ialah proposisi yang predikatnya membenarkan keseluruhan subjek.

e.       Proposisi umum-negatif ialah proposisi yang predikatnya mengingkari keseluruhan subjek (E). Proposisi khusus-positif ialah proposisi yang predikatnya membenarkan sebagai subjek (I).

d.      Contoh Proposisi

a. Semarang ialah Ibukota provinsi Jawa Tengah (proposisi yang bernilai benar karena    Semarang ialah Ibukota Jawa Tengah).

b.    Sukarno ialah Presiden Pertama Republik Indonesia.

c.     5 + 7 = 10 (proposisi yang bernilai salah).

d.    x + 5 = 11 (bukan proposisi, karena “x” belum ditentukan).

2.      OPERATOR

 a.      Pengertian Operator

Operator adalah pengendali operasi yang akan dilakukan pada beberapa operan sehingga membentuk sebuah ekspresi. Secara umum, dalam sebuah ekspresi terdapat sebuah operator yang diapit dua operan. Contohnya pada ekspresi:

x + y . x dan y adalah operan, sedangkan ‘+’ adalah operatornya     

Terdapat tiga macam operator yang biasa digunakan dalam pemrograman, yaitu:

        a.    Operator Aritmatik

Adalah operator yang digunakan untuk melakukan operasi penjumlahan, pengurangan pembagian, dan perkalian atau operator yang digunakan umtuk melakukan perhitungan pada bilangan. Berikut ini merupakan tabel yang berisi macam-macam operator aritmatika yang dapat digunakan pada PHP.

Operasi	Operator
Penambahan	+
Pengurangan	-
Perkalian	*
Pembagian	/
Sisa pembagian	%
Increment	++
decrement	-

Tabel 1. 1 Operator aritmatika

Contoh penggunaan operasi operator diatas:

$x = 100;

$y = 10;

Operasi	Operator	Contoh sintaks	hasil
Penambahan	+	$x + $y	110
Pengurangan	-	$x - $y	90
Perkalian	*	$x * $y	1000
Pembagian	/	$x / $y	10
Sisa pembagian	%	$x % $y	0
Increment	++	$x++	101
decrement	-	$x-	99

Tabel 1. 2 Sisa dari hasil pembagian

Berdasarkan contoh diatas, yang dimaksud dengan sisa pembagian adalah sisa dari hasil pembagian bukan hasil dari pembagian. Pada contoh diatas $x % $y = 0. Hasil ini didapat dari rumus sebagai berikut:

$x – ($y * ($x / $y))

Pada contoh diatas 50/10 = 5. Lalu 50 – (10 * 5) = 0

Contoh:

Misalkan nilai variabel $y diganti 6 untuk menghasilkan nilai hasil module division, pertama kita hitung adalah 100/6 = 16,6 tapi kita mengambil nilai bulatnya saja, sehingga nilainya 16.

Catatan: untuk nilai pecahan selalu diambil nilai bulatnya saja. Misalkan nilai yang didapat 13,85 maka apabila diambil nilai bulatnya maka akan menjadi 13.

        b.   Operator relasi

Adalah operator penghubung yang berupa benar atau salah, sesuai dengan teorinya bahwa operator relasi mengeluarkan tipe data Boolean sehingga contoh program diatas mengeluarkan output true atau false.

Contoh:

10>3;//true,kemudian7<3;//false

         c.    Operator logika

Adalah operator yang digunakan untuk menggabungkan dua kalimat sehingga terbentuk kalimat gabungan. Nilai kebenaran kalimat gabungan ini ditentukan oleh nilai kebenaran dari kalimat-kalimat pembentuknya. Operator logika di sini bertindak sebagai fungsi.

Dan dalam kehidupan sehari hari dapat diambil contoh konjungsi magnetic misalnya:

A: Hari ini cuaca mendung

B: Hari ini akan hujan

C: Hari ini cuaca mendung dan hari ini akan hujan

D: Hari ini cuca mendung karena itu hari ini akan hujan

         d.   Tipe data

Tipe data dapat diartikan sebagai variabel yang digunakan untuk penyimpanan data dan bisa bersifat straugt ttyped. Kita diharuskan mendeklerasikan tipe data dari semua variabel dan apabila lupa atau salah mengikuti aturan pengdeklarasian variabel maka akan mendapatkan error.

Ada beberapa tipe data diantaranya:

1.    Character

Adalah tipe data berisi karakter tunggal yang didefinisikan dengan diawali dan diakhiri tanda petik (‘).

Char berbeda dengan String bukan merupakan tipe data primitive, tetapi sudah merupakan sebuah objek. Tipe char mengikuti aturan Unicode, sehingga dapat menggunkan kode \u kemudian diikuti bilangan dari 0 sampai 65535, tetapi yang biasa digunakan adalah bilangan heksadesimal dari 0000 sampai FFFF.

Misalnya: ‘\u123’

2.    Numerik

Adalah tipe data integer yang digunakan apabila tidak berurusan dengan pecahan atau bilangan decimal. Yang termasuk dalam numerik diantaranya:

a.       Byte, yang memiliki nilai integer -128 sampai +127 dan menempati 1 byte ( 8 bits ) di memori.

b.      Short, yang memiliki nilai integer dari -32768 sampai 32767 dan menempati 2 bytes ( 16 bits ) di memori.

c.       Int, yang memiliki nilai integer dari -2147483648 sampai 2157483647 dan menempati 4 bytes ( 32 bits ) di memori.

d.      Long, yang memiliki nilai -9223372036854775808 sampai 9223372036854775807 dan menempati 8 bytes ( 64 bits ) di memori.

3.    Boolean

Adalah tipe data yang terdiri dari dua nilai yaitu True dan False. Boolean sangat penting dalam mengevaluasi suatu kondisi, dan sering digunakan untuk menentukan alur program.

Algoritma notasi pseu docode

Notasi pseudocode bisa ( semu atau tidak sebenarnya ) artinya notasi yang menyerupai notasi bahasa pemograman tingkat tinggi yang biasa digunakan seperti bahasa C. Dengan pengertian diatas maka dapat didefinisikan bahwa bahasa notasi algoritma yang dapat menjelaskan perintahnya dengan bahasa yang jelas tanpa membingungkan pembaca atau pengguna bisa disebut dengan notasi algoritma pseudocode. Tidak seperti bahasa program yang direpotkn dengan tanda titik koma dan sebagainya, kata-kata khusus, indeks, format, dan lainnya, maka dengan pseudocode ini akan lebih memudahkan dan menguntungkan. Keuntungan penggunaan notasi pseudocode ini adalah kemudahan mengkonversinya kebahasa pemograman, karena terdapat korespondensi antara setiap pseudocode dengan notasi bahasa program.

3.      TABEL KEBENARAN

  a.      Pengertian Tabel Kebenaran

Nilai kebenaran suatu proposisi majemuk didasarkan pada ‘Nilai kebenaran proposisi atomik penyusunnya’ dan cara mereka dihubungkan dengan ‘opeator logika’. Dan ‘Tabel kebenaran’ adalah salah satu cara untuk mengetahui nilai kebenaran dari proposisi majemuk. Table kebenaran ini nantinya akan menunjukkan nilai kebenaran dari tiap – tiap proposisi atomik dan kombinasinya menurut operator logika.

 b.      Jenis-Jenis Tabel Kebenaran

Berikut adalah tiga buah jenis-jenis table kebenaran, yaitu:

Keterangan:

B = Benar  (bernilai benar).

S = Salah (bernilai salah).

1.      Konjungsi

P	q	P ^ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

2.      Disjungsi

p	q	P v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

3.      Negasi

p	~q
B	S
S	B

      Table kebenaran dari tiga proposisi

      Jika p, q, dan r adalah proposisi. Buatlah table kebenaran dari ekspresi logika  dibawah ini:

(p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬ r)

p	q	r	~r	p ∨ q	p ∧ ~ r	(p ∨ q) ∧ (p ∧ ~ r)
B	B	B	S	S	S	S
B	B	S	B	S	B	B
B	S	B	S	S	S	S
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	S	S	S	S
S	B	S	B	S	S	S
S	S	B	S	B	S	S
S	S	S	B	B	S	S

     Kita bisa melihat contoh – contoh di atas bahwanilai kebenaran proposisi majemuknya bisa sangat    bervariasi tergantung dari nilau kebenaran proposisi proposisi atomiknya. Namun, adakalanya, nilai    kebenaran suatu proposisi majemuk bernilai benar (true) untuk semua kasus atau bahkan bernilai        salah (false) untuk semua kasus.

  Jika sebuah proposisi bernilai true (T) untuk semua kemungkinan (kolom paling akhir) maka,             proposisi majemuk tersebut disebut Tautologi

Contoh tautologi :

p ∨ ¬(p ∧ q)

P	Q	p ∧ q	¬ p	P ∨ ¬(p ∧ q)
B	B	B	S	B
B	S	S	S	B
S	B	S	B	B
S	S	S	B	B

Jika sebuah proposisi bernilai false (F) untuk semua kemungkinan (kolom paling akhir) maka, proposisi majemuk tersebut disebut Kontradiksi

Contoh kontradiksi :

~ p ∧ (p ∧ q)

P	q	¬ p	p ∧ q	¬ p ∧ (p ∧ q)
B	B	S	B	S
B	S	S	S	S
S	B	B	S	S
S	S	B	S	S

Ekivalen Secara Logika (notasi &quot;&equiv;&quot;)

Jika dua buah ekspresi logika menunjukkan kemungkinan – kemungkinan yang sama.

Contoh : ~(p &and q) ≡ ~p &orl ~q

P	q	~ p	~q	p ∧ q	~(p ∧ q)	~p ∨ ~ q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	B	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

Dari table di atas kita dapat menyimpulkan bahwa ¬(p &and q) ≡ ¬p &orl ¬ q

4.      KALIMAT MAJEMUK

Sebuah pernyataan (statemen) adalah suatu koleksi simbol yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.

Paris ada di inggris

2 + 2 = 4

Kemanakah kamu pergi?

Kerjakan tugas di papan tulis

Beberapa pernyataan yang disusun oleh substatmen-substatemen dan berbagai macam hubungan logis disebut pernyataan majemuk.

“Bunga mawar adalah merah dan violet berwarna biru. Merupakan pernyataan majemuk dengan substatemen  “mawar adalah merah” dan “violet adalah biru”

“Dia pintar atau belajar setiap malam”. Merupakan pernyataan majemuk dengan substatmen “Dia pintar” dan “Dia Belajar setiap malam”

Contoh 1:

Jika, p = “Hari ini dingin” dan q = “Hari ini hujan”

Carilah jawaban untuk pertanyaan berikut:

~p, p^q, pvq, qv~p

Jawaban

Hari ini tidak hujan

Hari ini dingin dan hujan

Hari ini dingin atau hari ini hujan

Hari ini dingin atau hari ini tidak dingin

Contoh 2:

Jika, p = “Dia tinggi” dan q = “Dia tampan”

Carilah jawaban (simbol logika) untuk pertanyaan berikut:

Dia tinggi dan tampan

Dia tinggi dan tidak tampan

Dia tidak tinggi dan tampan

Jawaban

P^q

p^~q

~p^~q

5.      IMPLIKASI dan APLIKASINYA

Implikasi adalah apabila Benar (B) didepan dan Salah (S) dibelakang  maka pernyataan tersebut adalah salah (S) dan lainnya benar (B).

Contoh:

Jika Illa berangkat ke kampus dibawah jam 08:00 maka ia tidak akan terlambat.

P : Illa berangkat ke kampus dibawah jam 08:00.

Q : maka ia tidak terlambat.

Ekspresi logmat : P → Q.

    Konvers

Q berada didepan tanda “→” dan P berada dibelakang tanda “→”.

           Q → P

           “Jika Illa tidak terlambat maka illa berangkat ke kampus dibawah jam 08:00”.

b.                         Invers

           P berada didepan tanda “→” tetapi diberi negasi(~) dan Q berada dibelakang tanda “→”.

           ~P → ~Q

           “Jika Illa tidak berangkat ke kampus jam 08:00 maka ia terlambat”.

c.                          Kontraposisi

          Q diberi negasi (~) dan berada didepan tanda “→” dan P diberi tanda negasi (~) dan berada                  dibelakang tanda “→”.

           ~Q → ~P

           “Jika Illa terlambat maka Illa berangkat kekampus diatas jam 08:00”.

6.      TAUTOLOGI

Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bernilai benar semua diujung kolom sebelah kanan. Pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar disebut bersifat benar logis. Tautologi yang memuat operator atau pernyataan implikasi disebut implikasi logis.

Untuk mengetahui apakah sebuah pernyataan majemuk termasuik tautologi atau bukan, dapat digunakan dua cara, yaitu menggunakan tabel kebenaran dan menggunakan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum ekuivalensi logika.

Contoh :

Buktrikan bahwa kedua pernyataan dibawah ini merupakan tautologi:

[(p → q) ^ p] → q

Pembahasan :

[(p → q) ^ p] → q

p	q	p → q	(p → q) ^ p	[(p → q) ^ p] → q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Pada tabel diatas dapat dilihat bahwa kolom ujung sebelah kanan Benar (B) semua.

7.      KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi. Kalau tautologi itu benar semua, sedangkan kontradiski Salah (S) semua.

Contoh :

p ^ (~p ^ q).

Bentuk Tabel :

p	q	~p	(~p ^ q)	p ^ (~p ^ q)
B	B	S	S	S
B	S	S	S	S
S	B	B	B	S
S	S	B	S	S

Pada tabel diatas dapat dilihat bahwa kolom ujung sebelah kanan Salah (S) semua.

8.      KONTINGENSI

Kontingensi adalah semua pernyataan majemuk yang bukan merupakan taulologi atau kontradiksi. Dengan kata lain, pada kontingensi nilai kebenarannya ada yang benar dan ada yang salah. Berikut sebuah contoh pernyataan majemuk kontingensi.

p	q	~q	p → q	~(p →q)	p ^ ~q	~(p →q)^ P ^ ~q
B	B	S	B	S	S	S
B	S	B	S	B	B	B
S	B	S	B	S	S	S
S	S	B	B	S	S	S

Pada tabel diatas dapat dilihat bahwa S dan B ada.

9.      EKUIVALENSI

Ekuivalensi adalah sebanding yang artinya hasil dari tabel kebenaran bernilai sama / sebanding, sama letak dan sama pernyataannya.

Contoh :

~[~A v ~(B v C)] ≡ [(A ^ B) v (A ^ C)]

A	B	C	~A	B v C	A ^ B	A ^ C	~(B v C)	~A v ~(B v C)	(A ^ B) v (A^C)	~[~Av~(BvC)]
B	B	B	S	B	B	B	S	S	B	B
B	B	S	S	B	B	S	S	S	B	B
B	S	B	S	B	S	B	S	S	B	B
B	S	S	S	S	S	S	B	B	S	S
S	B	B	B	B	S	S	S	B	S	S
S	B	S	B	B	S	S	S	B	S	S
S	S	B	B	B	S	S	S	B	S	S
S	S	S	B	S	S	S	B	B	S	S

Pada tabel diatas dapat dilihat bahwa hasilnya sebanding, sama letak dan sama pernyataan.