RELASI

RELASI

Penjelasan

Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.  Notasi: R ⊆ (A x B). a R b adalah notasi untuk (a, b) ∈ R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R. a R b adalah notasi untuk (a, b) ∉R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Misalkan:

A= {Amir, Budi, Cecep}, B= {IF221, IF251, IF342, IF323}

AB= {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342),

(Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251),

(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),

(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu

R= {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221),

(Budi, IF251), (Cecep, IF323) }

Dapat dilihat bahwa R ∈ (A x B),

A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.

(Amir, IF251) ∈ R atau Amir R IF251

(Amir, IF342) ∉ R atau Amir R IF342.

Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) ∈ R jika p habis membagi q maka kita peroleh R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }. Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus. Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A x A. Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A x A.

Representasi Relasi

Ada 3 cara penyajian relasi, yaitu:

Diagram Panah

 Misalkan himpunan A = {a, b, c, d} dan himpunan B = {1, 2, 3}. R = {(a,2), (b,1), (b,2), (c,3), (d,3)}.

Jika R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, gambar dua buah lingkaran lalu tuliskan elemen-elemen A dan B pada masing-masing lingkaran.

                         

Tabel

 Misalkan himpunan A = {a, b, c, d} dan himpunan B = {1, 2, 3}. R = {(a,2), (b,1), (b,2), (c,3), (d,3)}.

Jika relasi direpresentasikan dengan tabel, maka kolom pertama tabel menyatakan daerah asal (himpunan A), sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil (himpunan B).

                

Matriks

 Misalkan himpunan A = {a, b, c, d} dan himpunan B = {1, 2, 3}. R = {(a,2), (b,1), (b,2), (c,3), (d,3)}.

Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [Mij]. Daerah asal (himpunan A) ditunjuk sebagai baris, sedangkan daerah hasil (himpunan B) ditunjuk sebagai kolom. Jika terdapat relasi, nilainya adalah 1, sedangkan jika tidak terdapat relasi, nilainya 0.

         

Graf

       Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph). Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc). Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

                        

Sifat-sifat Relasi Biner

Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. 

1. Refleksif (reflexive)

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A. Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∉ A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.

Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka:

a. Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).

b. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) ∉ R.

Contoh : Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A.

2. Menghantar (transitive)

Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

Contoh 9. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka:

a.    R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:

              

b.   R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena (2, 4) dan (4, 2) ∈ R, tetapi (2, 2) ∉ R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) ∈ R, tetapi (4, 3) ∉ R. (c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar (d) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R sedemikian sehingga (a, c) ∈ R.

Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya .

Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

3. Setangkup (symmetric) dan tak-setangkup (antisymmetric)

Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka (b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A. Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikian sehingga (b, a) ∉ R. Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R hanya jika a = b untuk a, b ∈ A disebut tolak-setangkup. Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R. 

DAFTAR PUSTAKA

eprints. (n.d.). BAB 3 RELASI. Retrieved 10 13, 2018, from BAB 3 RELASI: eprints.dinus.ac.id